Сайт Богданова Дмитрия Валериевича

Задание №1702/26

Задание

Однажды утром мистер Блэк, мистер Грей и мистер Уайт задумали решить конфликт труэлью на пистолетах. Стрелять условились до тех пор, пока в живых не останется только один из участников. Мистер Уайт стрелял хуже всех: в цель он попадал в среднем лишь один раз из трёх. Мистер Грей в среднем попадал в цель два раза из трёх, а мистер Блэк стрелял лучше всех — без промаха.

Чтобы уравнять шансы участников труэли, мистеру Уайту разрешено стрелять первым, за ним должен стрелять мистер Грей (если он останется в живых), затем мог стрелять мистер Блэк (если он ещё будет жив). Далее всё начиналось снова, и так до тех пор, пока в живых не останется только один из участников труэли.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

1) В кого из участников труэли должен произвести первый выстрел мистер Блэк (если право хода дойдёт до него), чтобы его шансы выиграть труэль были максимальны? Укажите первый ход мистера Блэка для каждой из возможных ситуаций и соответвующую вероятность победы в труэли.

2) В кого из участников труэли должен произвести первый выстрел мистер Грей (если право хода дойдёт до него), чтобы его шансы выиграть труэль были максимальны? Укажите первый ход мистера Грея для каждой из возможных ситуаций и соответвующую вероятность победы в труэли.

3) В кого из участников труэли должен произвести первый выстрел мистер Уайт, чтобы его шансы выиграть труэль были максимальны? Укажите первый ход мистера Уайта и соответвующую вероятность победы в труэли.

Источник

Прототипом задания послужила задача «Теория игр и труэль» из книги Саймона Сингха «Великая теорема Ферма».

Решение

1) Ситуация, когда Блэк останется жив и ход перейдёт к нему, может произойти в одном из трёх случаев:

  • Уайт и Грей стреляли друг в друга или в Блэка, но живы оба;
  • Уайт был убит Греем;
  • Грей был убит Уайтом.

В первом случае Блэку следует выстрелить в Грея. Грей будет однозначно убит и ход перейдёт к Уайту. Вероятность быть убитым Уайтом составит \(p_{3}=1/3\). В случае промаха Уайта с вероятностью \(\overline{p}_{3}=2/3\) ход перейдёт к Блэку и последующим выстрелом он выиграет труэль.

Во втором и третьем случае Блэку достаточно выстрелить в оставшегося соперника и выиграть труэль с вероятностью 1.

2) Ситуация, когда Грей останется жив и ход перейдёт к нему, может произойти в одном из двух случаев:

  • Уайт стрелял в него или в Блэка, но промахнулся;
  • Уайт стрелял в Блэка и Блэк был убит.

В первом случае Грей должен выстрелить в Блэка, как в более опасного соперника. При попадании с вероятностью \(p_{2}=2/3\) ход перейдёт к Уайту, чья вероятность промаха составляет \(\overline{p}_{3}=2/3\). Далее ход может перейти к Грею и с вероятностью \(\left(2/3\right)^{3}=8/27\) он выиграет труэль после второго выстрела. Если же произвести первый выстрел в Уайта, то следующий ход однозначно перейдёт к Блэку, который захочет устранить более опасного соперника — Грея и труэль будет однозначно проиграна.

Во втором случае Грей должен стрелять в оставшегося соперника — Уайта. Тогда вероятность выиграть труэль после первого выстрела будет равна \(p_{2}=2/3\).

3) Уайту следует произвести первый выстрел в воздух: считая друг друга более опасными противниками, Грей или Блэк будет убит однозначно. Далее ход вернётся к Уайту и с вероятностью \(p_{3}=1/3\) он может выиграть труэль после второго выстрела.

Подробнее...

Ответ

Подробнее...
Добавить комментарий
Комментарии (0)