DVBogdanov.ru / Тренировочный вариант по информатике, задание 2

Задание №1701/02

Задание

Логическая функция \(f\) задаётся выражением: \[f\left(a,b,c,d\right)=\left(\lnot a\equiv b\right)\wedge\left(c\rightarrow d\right)\vee\left(a\wedge\lnot b\wedge c\right).\]

Сколько строк в таблице истинности функции \(f\) соответствуют условию, что функция \(f\) истинна, если не менее двух из её четырёх аргументов \(a,b,c,d\) также имеют значение истина?

Решение

Функция \(f(a,b,c,d)\) истинна при \(\left(\lnot a\equiv b\right)\wedge\left(c\rightarrow d\right)=1\) или \(a\wedge\lnot b\wedge c=1\). Рассмотрим отдельно оба случая.

1. Конъюнкция \(\left(\lnot a\equiv b\right)\wedge\left(c\rightarrow d\right)\) истинна только при условии истинности обоих конъюнктов. Эквиваленция \(\lnot a\equiv b\) истинна на двух наборах входящих в неё переменных \(a, b\): \((0, 1)\) и \((1, 0)\). Импликация \(c\rightarrow d\) истинна на трёх наборах входящих в неё переменных \(c, d\): \((0, 0)\), \((0, 1)\) и \((1, 1)\). Так как соответствующие наборы не зависят друг от друга, применимо правило произведения, то есть всего имеется \(2\cdot 3 = 6\) наборов, перечисленных в таблице ниже.

\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)\(\left(\lnot a\equiv b\right)\wedge\left(c\rightarrow d\right)\)
01001
01011
01111
10001
10011
10111

2. Конъюнкция \(a\wedge\lnot b\wedge c=1\) истинна лишь в том случае, если истинны все входящие в неё конъюнкты и не зависит от переменной \(d\). Таким образом, имеется два подходящих набора, перечисленных в таблице ниже.

\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)\(a\wedge\lnot b\wedge c=1\)
10101
10111

По условию задачи необходимо определить количество лишь тех наборов, на которых функция \(f(a,b,c,d)\) истинна и не менее двух её аргументов также принимают значение истина. В первой таблице этому условию соответствуют наборы в строках 2, 3, 5 и 6, а во второй таблице — в строках 1 и 2. Отметим, что наборы в последних строках обеих таблиц совпадают. Используя формулу включений и исключений, окончательно получим искомое количество наборов: \( 4 + 2 - 1 = 5\).

Подробнее...

Ответ

5

Подробнее...
Добавить комментарий
Комментарии (0)
#Задачи на логику #Подготовка к ЕГЭ по информатике #Правило произведения комбинаторики #Правило суммы комбинаторики #Таблицы истинности