Задание №1701/02
Задание
Логическая функция \(f\) задаётся выражением: \[f\left(a,b,c,d\right)=\left(\lnot a\equiv b\right)\wedge\left(c\rightarrow d\right)\vee\left(a\wedge\lnot b\wedge c\right).\]
Сколько строк в таблице истинности функции \(f\) соответствуют условию, что функция \(f\) истинна, если не менее двух из её четырёх аргументов \(a,b,c,d\) также имеют значение истина?
Решение
Функция \(f(a,b,c,d)\) истинна при \(\left(\lnot a\equiv b\right)\wedge\left(c\rightarrow d\right)=1\) или \(a\wedge\lnot b\wedge c=1\). Рассмотрим отдельно оба случая.
1. Конъюнкция \(\left(\lnot a\equiv b\right)\wedge\left(c\rightarrow d\right)\) истинна только при условии истинности обоих конъюнктов. Эквиваленция \(\lnot a\equiv b\) истинна на двух наборах входящих в неё переменных \(a, b\): \((0, 1)\) и \((1, 0)\). Импликация \(c\rightarrow d\) истинна на трёх наборах входящих в неё переменных \(c, d\): \((0, 0)\), \((0, 1)\) и \((1, 1)\). Так как соответствующие наборы не зависят друг от друга, применимо правило произведения, то есть всего имеется \(2\cdot 3 = 6\) наборов, перечисленных в таблице ниже.
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | \(d\) | \(\left(\lnot a\equiv b\right)\wedge\left(c\rightarrow d\right)\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
2. Конъюнкция \(a\wedge\lnot b\wedge c=1\) истинна лишь в том случае, если истинны все входящие в неё конъюнкты и не зависит от переменной \(d\). Таким образом, имеется два подходящих набора, перечисленных в таблице ниже.
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | \(d\) | \(a\wedge\lnot b\wedge c=1\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
По условию задачи необходимо определить количество лишь тех наборов, на которых функция \(f(a,b,c,d)\) истинна и не менее двух её аргументов также принимают значение истина. В первой таблице этому условию соответствуют наборы в строках 2, 3, 5 и 6, а во второй таблице — в строках 1 и 2. Отметим, что наборы в последних строках обеих таблиц совпадают. Используя формулу включений и исключений, окончательно получим искомое количество наборов: \( 4 + 2 - 1 = 5\).
Подробнее...Ответ
5
Подробнее...
Варианты "когда" и "при условии, что" тоже будут означать импликацию. Конъюнкции соответствуют соединительные и противительные союзы.
Скорее всего, путаница из-за ассоциации слова "если" с импликацией. Хотя оно планировалось как синоним слов "когда", "при условии, что..." и т.д.
Но, действительно, лучше это исправить. Спасибо!
В условии стоит "функция истинна, ЕСЛИ не менее двух аргументов истинны", а разбор заданий и полученный ответ соответствуют утверждению "функция истинна И не менее двух аргументов истинны".
Для данного условия правильный ответ - 10, а не 5.